Teorema Divergensi

Dalam matematika teorema divergensi, yang dikenal juga dengan sebutan teorema Gauss atau teorema Ostrogradsky memerikan hubungan antara aliran (fluks) medan vektor melaluipermukaan dengan peri laku medan di dalam permukaan.

Tepatnya, teorema ini menyatakan bahwa fluks sebuah medan vektor melalui permukaan tertutup sama dengan integral volume dari divergensi pada daerah di dalam permukaan. Secara intuitif teorema ini menyatakan bahwa jumlah semua sumber dikurangi jumlah semua sumur memberikan aliran netto keluar dari daerah itu.

Teorema divergensi penting buat matematika rekayasa, terutama elektrostatika dan dinamika fluida. Dalam fisika dan rekayasa, teorema divergensi biasanya diterapkan dalam dimensi tiga. Namun teorema ini dapat digeneralisasi ke sembarang dimensi. Pada satu dimensi teorema ini ekivalen dengan teorema dasar Kalkulus. Pada ruang dua dimensi, ini setara dengan teorema Green.

Pernyataan matematika[sunting | sunting sumber]

Daerah V dibatasi oleh permukaan S=∂Vdengan vektor normal n

Teorema divergensi dapat digunakan untuk menghitung fluks melalui permukaan tertutup yang sepenuhnya melingkupi sebuah volume, seperti semua permukaan di sebelah kiri. Teorema ini tidak dapat digunakan langsung untuk menghitung fluks melalui permukaan dengan batas, seperti di sebelah kanan (permukaan berwarna biru, sedangkan batas berwarna merah)

Misalkan V adalah himpunan bagian Rⁿ (dalam kasus n = 3, V mewakili volume dalam ruang tiga dimensi) yang merupakan ruang kompak dan memiliki batas permukaan S. Bila F adalah medan vektor kontinu terdiferensialkan yang didefinisikan pada persekitaran V, maka kita mendapatkan: ^[1]

Catatan[sunting | sunting sumber]

1. ^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (ed. 2nd). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Kategori: 

• Kalkulus

Hukum Gauss

Hukum Gauss adalah hukum yang menentukan besarnya sebuah fluks listrik yang melalui sebuah bidang. Hukum Gauss menyatakan bahwa besar dari fluks listrik yang melalui sebuah bidang akan berbanding lurus dengan kuat medan listrik yang menembus bidang, berbanding lurus dengan area bidang dan berbanding lurus dengan cosinus sudut yang dibentuk fluks listrik terhadap garis normal.

Hukum ini dirumuskan oleh Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Beliau adalah salah seorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Banyak bidang hukum matematika yang dipengaruhinya dan dia membuat kontribusi yang sama pentingnya untuk fisika teoritis.

Hukum Gauss berbunyi "bahwa fluks listrik total yang melalui sembarang permukaan tertutup (sebuah permukaan yang mencakup volume tertentu) sebanding dengan muatan lisfiik (netto) total di dalam permukaan itu".

Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung medan listrik dari sistem yang mempunyai kesimetrian yang tinggi (misalnya simetri bola, silinder, atau kotak). Untuk menggunakan hukum gauss perlu dipilih suatu permukaan khayal yang tertutup (permukaan gauss). Bentuk permukaan tertutup tersebut dapat sembarang.

Hukum Gauss ini didasarkan pada konsep garis-garis medan listrik yang mempunyai arah atau anak panah seperti pada gambar di bawah :

Gambar garis-garis medan listrik di sekitar muatan positif

FLUKS LISTRIK

Fluks berkaitan dengan besaran medan yang “menembus” dalam arah yang tegak lurus suatu permukaan tertentu. Fluks listrik menyatakan medan listrik yang menembus dalam arah tegak lurus suatu permukaan. Ilustrasinya akan lebih mudah dengan menggunakan deskripsi visual untuk medan listrik (yaitu penggambaran medan listrik sebagai garis-garis). Dengan penggambaran medan seperti itu (garis), maka fluks listrik dapat digambarkan sebagai banyaknya “garis” medan yang menembus suatu permukaan. Perhatikan gambar di bawah:

Fluks Listrik yang menembus suatu permukaan

Rumus Fluks listrik adalah sebagai berikut :

Apabila garis-garis medan listrik yang menembus suatu bidang memiliki sudut maka rumus fluks listriknya adalah sebagai berikut :

Hukum Gauss dinyatakan sebagai berikut :

"Jumlah garis medan yang menembus suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut" Dan di rumuskan sebagai berikut :