Analisis Vektor

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang
Bicara tentang fungsi vektor, ada baiknya jika kita tahu terlebih dahulu apa itu vektor. Dalam fisika kita mengenal vektor sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah. Sedangkan dalam matematika, vektor adalah anggota dari ruang vektor. Secara geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arah vektor.
Pada dasarnya, setiap bagian dari matematika memiliki fungsi masing-masing. Baik fungsi matematisnya, penerapannya dalam kehidupan maupun kaitannya dengan ilmu agama. Tidak terkecuali dengan vektor. Secara matematis, kita kadang-kadang menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A (x,y,z) mendefinisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Sementara dari segi kehidupan manusianya, vektor berfungsi misalnya dalam hal teknologi GPS. Sedangkan dari segi agamis, vektor dapat memperlihatkan betapa mulianya Allah SWT. yang telah menciptakan alam semesta beserta manusia dengan sempurnanya.
Kadang kala, muncul sebuah pertanyaan dari kalangan peserta didik, dimana mereka menanyakan apa tujuannya, atau apa pentingnya kita mempelajari perihal bidang pembelajaran seperti ini? Vektor, Fungsi vektor, turunan fungsi vektor, bukankah dalam kehidupan sehari-hari kita tidak akan ditanyai orang-orang tentang apa itu vektor? Atau mereka tidak akan bertanya, berapa hasil dari turunan vektor berikut ini. terdengar lucu memang, namun akan lebih baik jika kita bisa menjelaskan sedikit bagaimana aplikasi dari vektor ini dalam kehidupan manusia. Sehingga mempelajarinya bukanlah sebuah kesia-siaan. Maka dari itu, akhirnya penulis memutuskan untuk membahas tentang Fungsi Vektor ditilik dari segi Matematikanya, Duniawinya dan Agamanya.
I.2 Rumusan Masalah
Melalui latar belakang di atas, maka adapun yang menjadi rumusan masalah dalam karya ilmiah ini adalah:

1. Apa yang dimaksud dengan vektor itu?
2. Seperti apakah fungsi vektor dilihat dari segi matematika?
3. Bagaimanakah fungsi vektor dilihat dari segi duniawi?
4. Bagaimana pula fungsi vektor dilihat dari segi agama?

I.3 Tujuan dan Manfaat Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:

1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan vektor.
2. Mengetahui fungsi vektor secara matematika.
3. Mengetahui fungsi vektor dilihat dari segi duniawi.
4. Mengetahui fungsi vektor dilihat dari segi agama.

Sementara untuk manfaat dari penulisan ini, penulis berharap kita tidak lagi bertanya untuk apa kita mempelajari fungsi vektor, apa pentingnya mempelajari fungsi vektor. Penulis berharap, kita semua mengerti bahwa tidak ada sedikitpun yang sia-sia dari sebuah proses pembelajaran.
I.4 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas 3 Bab. Bab pertama yaitu pendahuluan, berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penuisan dan sistematika penulisan. Bab kedua berisi pembahasan, dimana pada bab ini, kami menjelaskan apa-apa saja terkait dalam rumusan masalah yang telah dirancang sebelumnya. Dan pada bab terakhir, kami menjelaskan perihal kesimpulan dari seluruh pembahasan disertai dengan saran. Sebagai pertanggung jawaban, kami juga menyertakan Daftar pustaka pada bagian akhir karya ilmiah ini.

BAB II

PEMBAHASAN

II.1 Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh sebuah kapal bergerak dengan kecepatan sebesar 20 knot pada arah 30 derajat dari suatu pelabuhan. Dari pernyataan di atas dapat dipahami bahwa kapal tersebut bergerak dengan kecepatan 20 knot yang merupakan besaran, selain itu dijelaskan juga arah yang ditempuh, yaitu 30 derajat dari pelabuhan.
Penggambaran vektor:
Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf yang digaris bawahi.
Macam-macam vektor:

1. Vektor Satuan    : Vektor yang memiliki arah, meskipun hanya bernilai satu.
2. Vektor Nol         : Vektor yang titik awal dan akhirnya sama.
3. Vektor Negatif   : Negatif sebagai penunjuk arahnya.
4. Vektor Posisi      : Vektor yang menempati posisi pada bidang kartesius.
5. Vektor Ortogonal: Vektor basis pada dimensi tiga.
6. Vektor Basis       : Vektor yang menempati suatu kartesius.
7. Vektor Resultan : Vektor yang menjadi hasil dari semua vektor.

II.2 Fungsi Vektor Secara Matematika
Secara matematisnya, dijelaskan dungsi dari vektor itu ialah sebagai berikut:
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A dinamakan suatu fungsi  u yang dilambangkan dengan  A(u). Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A₁(u)i + A₂(u)j + A₃(u)k

Konsep fungsi ini dapat dengan mudah diperluas. Jadi kita untuk setiap titik (x, y, z) dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A adalah fungsi dad (x, y, z) dan dinyatakan dengan A(x, y, z) = A1(x, y, z)i + A2(x, y, z)j + A3(x, y, z)k.

Kita kadang-kadang menyatakan bahwa sebuah fungsi vektor A(x, y, z) mendefi­nisikan suatu medan vektor karena mengaitkan suatu vektor dengan setiap titik di suatu daerah. Dengan cara yang sama 4(x, y, z) mendefinisikan suatu medan skalar karena mengaitkan suatu skalar dengan setiap titik di suatu daerah.
Limit, kontinuitas dan turunan fungsi vektor mengikuti aturan yang serupa untuk fungsi skalar yang bersangkutan. Pernyataan berikut menunjukkan kesamaan yang ada.
1. Fungsi vektor A(u) dikatakan kontinu di u₀ jika diberikan suatu bilangan positif , kita dapat menentukan suatu bilangan positif .  Sehingga  <  bilamana < . Hal ini ekivalen dengan pernyataan  = A(u₀).
2. Turunan dari A(u) didefinisikan sebagai  dengan syarat limit ini ada. Jika A(u)=A₁(u)i+A₂(u)j+A₃(u)k ; maka,   .
Konsep yang sama akan berlaku untuk turunan lebih tinggi seperti  dst.
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R³) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu ruangan.
Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat.

II.3 Fungsi Vektor Secara Duniawi
Dalam dunia manusia ini, memang tidak serta merta kita dapat mlihat fungsi dari vektor tersebut. Namun, fungsi itu ada dan itulah sebabnya mata pelajaran/mata kuliah ini tetap dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain yaitu:
1. Sarana transportasi darat, laut, maupun udara masing-masing memiliki peluang yang sama untuk terjadinya kecelakaan. Apabila kecelakaan teradi di tengah lautan lepas tentunya kapal yang mengalami kerusakan hars dibawa ke pelabuhan terdekat untuk segera diperbaiki. Untuk menarik kapal tersebut dibutuhkan dua buah kapal dengan dilengkapi kawat baja. Agar kapal dapat sampai ke pelabuhan yan dituju dan posisi kapal selama perjalanan tetap stabil besar gaya yang dibutuhkan oleh masing-masing kapal penarik dan sudut yang di bentuk oleh kawat baja harus diperhitungkan dengan cermat.
2. Dalam Navigasi, vektor berpengaruh besar terhadap keberadaan suatu lokasi ditinjau dari tempat yang bergerak (kendaraan atau lainnya). Teknologi ini disebut Global Positioning System atau GPS. Dimana sistem ini memberitahukan lokasi di permukaan bumi walaupun tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat tahu keberadaannya dan dimana lokasi tujuannya. Karena itu vektor sangat berperan penting dalam Navigasi contohnya vector yang digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Semua pesawat terbang dilengkapi dengan sistem navigasi agar pesawat tidak tersesat dalam melakukan penerbangan. Panel-panel instrument navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk sistem navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian pesawat. Pengecekan terhadap instrument sistem navigasi harus seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu menjalani penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju bandara Hasanudin di Makasar. Ketidaktelitian pihak otoritas penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan sistem navigasi yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam Air berputar-putar di udara tanpa tahu arah selama tiga jam, sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur. Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah kesalahan yang fatal dalam dunia penerbangan. Sanksi yang diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai penerbangan yang melanggar. Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.
Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat berkonsentrasi mengemudikan pesawat. Pernahkah Kamu bayangkan pesawat terbang di malam hari? Bagaimana pilot mengemudikan pesawat terbang di malam hari. Dengan sistem vektor yang dikalibrasikan dengan komputer navigasi pesawat pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat.
3.   Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan gravis. Grafis adalah gambar yang tersusun dari koordinat-koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada layar monitor komputer terdiri atas titik-titik yang mempunyai nilai koordinat. Layar Monitor berfungsi sebgai sumbu koordinat x dan y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional).
4.   Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.
5.   Saat perahu menyebrangi sungai, makan kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.
6.   Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya, sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua unjung busur tersebut.
7.   Metode vektor juga diaplikasikan terhadap seseorang yang sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan  lebih jelas karena ada pengaruh vektor.
8.   Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya vektor, sehingga anal tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.
9.   Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi.